Institut für Geophysik der TU Clausthal

english deutsch Angewandte Geophysik : Seismik



Seismometer Dokumentation


- Inhaltsvezeichnis -


- Funktionsprinzip -

Ein Seismometer ermöglicht die Beobachtung / Registrierung von Bodenbewegungen,
und besteht i.A. aus

und
  • einem Signalabgriff,
    das die Relativbewegung des Gehäses gegenüber der Masse ( = "Fixpunkt" aufgrund ihrer Trägheit ) in ein Ausgangssinal wandelt.

Mechanisches System :

Das Verhalten des mechanischen Systems kann qualitativ abgeschätzt werden mit der Annahme einer harmonischen Bodenbewgung ( = Gehäusebewegung ) :

Eine quantitative Beschreibung dieser "Hochpass-Charakeristik", insbesondere im Frequenzbereich zwischen "sehr hoch" und "sehr tief"
kann aus dem Gleichgewicht aller externen und internen Kräfte, die auf die Masse einwirken abgeleitet werden.

Das Kräftegleichgewicht wird durch eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung,

in der die Größen zur Beschreibung der Bewegung

x(t), x'(t) und x"(t) = relative Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Masse
und
w"(t) = Beschleunigung des Bodens ( = des Gehäuses )

mit den charakteristischen Parametern des mechanischen Systems

m [kg] = bewegliche Masse,
=> Trägheitskraft proportional zur Gesamtbeschleunigung x"(t) + w"(t),
d [Ns/m] = Dämpfungkonstante,
=> Dämpfungskraft proportional zur Relativgeschwindigkeit x'(t),
und
c [N/m] = Federkonstante,
=> Rückstellkraft proportional zur Auslenkung x(t) der Masse aus ihrer Ruhelage ( x = 0 )

verknüpft sind.

Das negative Vorzeichen der Kräfte in der Bewegungsgleichung soll verdeutlichen, dass die Kraft der jeweiligen Bewegungskomponente entgegengerichtet ist.

Dabei ist die Trägheitskraft zusammengesetzt aus
einem äußeren Anteil,bestimmt durch die Beschleunigung w"(t) des Gehäuses bezüglich einer starren Erde und
einem inneren Anteil, bestimmt durch die Beschleunigung x"(t) der Masse bezüglich des Gehäuses,
während die Dämpfungs- und die Federkraft nur durch die
Geschwindigket x'(t) und die Auslenkung x(t) der Masse bezüglich des Gehäuses bestimmt sind ( innere Kräfte zwischen Masse und Gehäuse ).

! Das hier beschriebene mechanische System entspricht einem Seismometer mit linear geführter Masse ( 1 Freiheitsgrad ),
im Abschnitt Bestimmung der Empfinlichkeit speziell einem Vertkalseismometer ( s. "Gewichtstest" ).
Alle anderen Formeln und Gleichungen gelten unverändert auch für Horizontalinstrumente !

! Zur Anwendung auf Instrumente, bei denen die Seimometermasse an einem drehbar gelagerten, starren Pendelarm befestigt ist ( => ebenfalls nur 1 Freiheitsgrad ), sind die erforderlichen Modifikationen aufwändiger :
der Zustand des Systems wird beschrieben durch
die Drehung des Pendelarms
( Winkelauslenkung, -geschwindigkeit und -beschleunigung ),
und abgeleitet aus
dem Gleichgewicht aller internen und externen Drehmomente, wie
Winkelbeschleunigung × Trägheitsmoment,
Bodenbeschleunigung × Masse × Schwerpunktsabstand von der Drehachse, etc. !

Bewegungsgleichung :

Dividiert man die Differetialgleichung durch die ( konstante ) Masse m, so erhält man

mit den gebräuchlichen Abkürzungen

wodurch die Eigenfrequenz und die dimensionslose Dämpfungskonstante des Systems definiert werden :

Eine Lösung der Gleichung mit Hilfe der Laplace Transformation liefert

Signalabgriffe :

"Wegabgriff" ( displacement transducer ),
meist eine kapazitive oder induktive Brückenschaltung,
( in den Anfängen der Seismometrie : mechan. Hebelsystem zur Auslenkung einer Schreibfeder oder Lichtzeiger mit photographischer Registrierung ),

liefert ein ( i.A. elektrisches ) Ausgangssignal proportional zur Auslenkung x(t) der Seismometermasse relativ zum Gehäuse :

wobei die Rückwirkung des Abgriffsystems auf das mechanische System i.A. vernachlässigbar gering ist.

! Nicht bei mechan. Hebelsystemen, wo die Reibung der Schreibfeder, um die Hebelübersetzung ( = Vergrößerung ) vervielfacht, auf die Masse zurückwirkt !

Geschwindigkeitsabgriff ( velocity transducer ),
meist eine zylindrische Spule, die in den Ringspalt eines Permanentmagneten ( "Topfmagnet" ) eintaucht, und in der

eine Spannung induziert wird, die proportional ist zur Änderung des magnetischen Flusses, d.h. zur Relativgeschwindigkeit x'(t) zwischen Spule und Magnet :

Sind die Enden der Spulenwicklung über einen Widerstand verbunden, so erzeugt der durch die Spule, d.h. im Feld des Permamnentmagneten, fließende Strom eine Kraft,
die dem Strom proportional ist
( Proportionalitätsfaktor G [N/A] = Motorkonstante G [Vs/m] ),
und
die auf das mechanische System zurückwirkt.

Kapazitive und induktive Beiträge zum Gesamtwiderstand des elektrischen Spulenkreises können im für Seismometer relevanten Frequenzbereich i.A. vernachlässigt werden, sodass Strom und Spannung, und damit
Kraft und Geschwindigkeit x'(t), in Phase sind :

Inhaltsverzeichnis    Funktionsprinzip    Mechanisches System    Bewegungsgleichung    Signalabgriffe


- Applets -

Das Applet Seismometer Demo demonstriert

die Ausgangssignale des Verschiebungs- und des Geschwindigkeitswandlers
( sowie zusätzlich die Absolutverschiebung x(t) + w(t) der Seismometermasse )
für verschiedene Bodenverschiebungen w(t) und für einen weiten Parameterbereich
( z.B. Eigenfrequenz und Dämpfung des Seismometers, Frequenz / Zeitskala der Bodenbewegung ).

In einem separaten Fenster können Amplitude und Phase der Übertragungsfunktion von Verschiebungs- und Geschwindigkeitsausgang bezogen auf die Verschiebung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung der Bodenbewegung dargestellt werden.

Im Applet Seismometer Eichung wird

die Eigenfrequenz bestimmt aus der Beobachtung des Phasenwinkels zwischen dem harmonischen Strom durch eine Eichspule und der Ausangsspannung der Signalspule,

die Dämpfung aus der Beobachtung der freien Bewegung der Seismometermasse bei verschiedenen Werten des externen Däpfungswiderstands und ausgelöst durch Ein- / Ausschalten eines Gleichstroms durch die Eichspule oder durch Auflegen / Abheben einer kleinen Zusatzmasse dm « m ( "weight lift test" ),
wobei die Spitze-Spitze-Amplituden automatisch bestimmt und gespeichert werden, um die Grunddämpfung und den sog. "kritischen Dämpfungswiderstand zu berechnen.

Zusätzlich werden die Motorkostanten von Eich- und Signalspule berechnet und zusammen mit den entprechenden "wahren" und zunächst nicht bekannten Werten dargestellt.

Weitere Applets zur Seismometrie ( Seismometer mit LaCoste-Aufhängung, Vergleich der Übertragungscharakteristiken einiger historischer und moderner Seismographen u.a. ) :
unter Institut für Geophysik der TU Clausthal
und
auf der Homepage des Authors.

Inhaltsverzeichnis    Applets


- Grundlagen und Anwendung der Laplace Transformation -

Die Transformierte G(s) einer Zeitfunktion g(t) und die inverse Transformation :

Einige Regeln :

Anwendung auf die Bewegungsgleichung eines Seismometers :

Mit
X(s) = Transformierte der Auslenkun x(t) der Seismometermasse
und
W(s) = Transformierte der Bodenverschiebung w(t)

liefert die Anwendung der Laplace Tranformation auf die Differentialgleichung im Zeitbereich

eine algebraische Gleichung im Frequenzbereich

mit
h(t), H(s) = Impulsantwort des Systems und ihre Transformierte ( = Übertragungsfunktion ),

z(t), Z(s) = Freie Bewegung der Masse und die entsprechende Transformierte,
abhängig von den Anfangsbedingungen x(+0), x'(+0) des Systems und w(+0), w'(+0) der Bodenbewegung,
und

( H(s) = Hochpass ),

wobei die Zeitfunktionen h(t), z(t) aus Tafeln zur Laplace Transformation entnommen werden können.

Wenn sich der Boden für t &le 0 in Ruhe befindet ( w(+0)w'(+0) = 0 ), ergibt sich :

mit z(+0) = x(+0) ( aus der Grenzwertregel ).

Die Anwendung der Differientiationsregel auf X(s) liefert für die Relativgeschwindigkeit der Masse

mit z'(+0) = x'(+0)  für  w(+0)w'(+0) = 0  ( aus der Grenzwertregel ).

! Geschwindigkeit von Seismometermasse und Boden sind durch die gleichen Funktionen h(t), H(s) verknüpft wie Auslenkung und Bodenverschiebung !

Kürzt man die Bodenbeschleunigung w"(t) durch a(t) ( Transformierte = A(s) ) ab, so ergeben sich :

( L(s) = Tiefpass ),

als Verknüpfung der Auslenkung der Mass mit der normierten Bodenbeschleunigung

und

( B(s) = Bandpass ),

als Verknüpfung der Geschwindigkeit der Masse mit der normierten Bodenbeschleunigung

Inhaltsverzeichnis    Laplace Transformation    Einige Regeln    Anwendungen


- Übertragungsfunktionen -

Für die hier beteiligten Zeitfunktionen ( d.h. seismische Signale endlicher Amplitude und Dauer, oder Impulsantworten kausaler Systeme wie Seismometer ), umfasst der Definitionsbereich der Laplace Transformation auch die imaginäre Achse der komplexen s-Ebene.

Die Übertragungsfunktionen H(s), L(s) und B(s) eines Seismometers werden üblicherweise dargestellt und diskutiert anhand ihrer Amplituden |H|, |L|, |B| und Phasen arg{H}, arg{L} und arg{B} auf der imaginären Achse, mit einer auf die Eigenfrequenz des Seismometers normierten Frequenzskala.

Die Übertragungsfunktion H(s)

verknüpft die Auslenkung x(t) der Seismometermasse mit der Bodenverschiebung w(t) und die Geschwindigkeit x'(t) der Masse mit der Geschwindigkeit w'(t) des Bodens,
und entspricht einem normierten Hochpass 2. Ordnung :

Für Signale im Frequenzbereich oberhalb der Eigenfrequenz sind

Die Übertragungsfunktion L(s)

verknüpft die Auslenkung x(t) der Masse mit der Bodenbeschleunigung w"(t), und entspricht einem normierten Tiefpass 2. Ordnung :

Für Signale im Frequenzbereich unterhalb der Eigenfrequenz sind Seismometer

Die Übertragungsfunktion B(s)

verknüpft die Geschwindigkeit x'(t) der Masse mit der Bodenbeschleunigung w"(t)
( oder mit der Beschleunigung p(t) / m einer an der Masse angreifenden Kraft p(t) ) oder
die Auslenkung x(t) mit der Bodengeschwindigkeit w'(t),
und entspricht einem normierten Bandpass 2. Ordnung :

Für stark gedämpfte Systeme ist die Amplitudencharakteristik |B| "flach" in einem Frequenzband um die Eigenfrequenz, und es gilt näherungsweise :

Für Signale innerhalb dieses Frequenzbandes sind Seismometer

Inhaltsverzeichnis    Übertragungsfunktionen    Hochpass H(s)    Tiefpass L(s)    Bandpass B(s)


- Freie Bewegung der Seismometermasse -

Sehr häufig wird als Funktionstest oder zur Eichung eines Seismometers die Masse ausgelenkt, festgehalten und zum "Zeitpunkt t = 0" wieder freigegeben, wobei die resultierende freie Bewegung der Masse beobachtet / aufgezeichnet wird.

Für die entsprechenden Anfangswerte

ergeben sich die Laplace Transformierten von Auslenkung und Geschwindigkeit zu :

Die entsprechenden Zeitfunktionen z(t) und z'(t) kann man Tafeln zur Laplace Transformation entnehmen :

Für Zeiten t ≤ 0 gilt
z(t) = x(+0) und z'(t) = 0

und für Zeiten t > 0
führt die Masse gedämpfte Schwingungen um ihre Ruhelage x = 0 aus ( α < 1 ),
oder
kehrt ohne Überschwingen in ihre Ruhelage zurück
aperiodischer Grenzfall α = 1, "Kriechfall" α > 1 ).

Inhaltsverzeichnis    Freie Bewegung


- Parameterbestimmung -

Die normierten Übertragungsfunktionen eines Seismometers sind charakterisiert durch
die Eigenfrequenz ( engl. natural frequency )
und
die Dämpfung
des mechanischen Systems.

Dabei ermöglichen es die beiden Parameter
"CDR" ( engl. "critical damping resistance" )
und
Grunddämpfung ( engl. open circuit damping )
die gewünschte Gesamtdämpfung einzustellen ohne eine langwierige "Trial-und-Error" Prozedur.

Schließlich ist zur Rekonstruktion der "wahren" Bodenbewegung die Kenntnis
der Empfindlichkeit ( engl. sensitivity ) K [V/m] bzw. G [Vs/m]
des Wandlersystems erforderlich.

Die Eigenfrequenz
eines Seismometers kann über die Übertragungsfunktion B(s) bestimmt werden :

Für einen harmonischen Strom i(t) durch die Eichspule wirkt auf die Seismometermasse die ebenfalls harmonische Kraft p(t), und für die Ausgangsspannung u(t) der Signalspule gilt

Die Größe R(s) = U(s) / I(s) kann als komplexe, frequenzabhängige Impedanz interpretiert werden, die zu einer Phasendifferenz arg{B(s)} zwischen Erregerstrom und Ausgangsspannung führt :

Als graphische Darstellung von u(t) gegen i(t) ( auf einem Oszillographen oder XY-Schreiber ) erhält man
für arg{B} ≠ 0 eine Ellipse, die
für arg{B} = 0 ( B = 1 / 2α für q = 1, s.o. ) in eine Gerade übergeht.

Dies ist ein äußerst empfindlicher Indikator für q = 1,
( d.h. Erregerfrequenz = Eigenfrequenz ),
wodurch der Fehler in der Bestimmung der Eigenfrequenz eines Seismometers i.A. reduziert wird auf
Unsicherheiten in der Justierung / Messung der Signalfrequenz der Stromquelle.

( s. DISPLAY U_SIG / I_CAL des Applets Seismometer Eichung )

( Bei Systemen mit nur einer Spule kann dieses Verfahren mit geringfügigen Modifikationen der Messanordnung ebenfalls angewandt werden, wobei der Messfehler ggf. etwas anwächst, da der Spulenwiderstand einen, i.A. merklichen, Beitrag zum Realteil der "Seismometerimpedanz" R(s) liefert. )

Die Dämpfung
eines Seismometers wird üblicherweise aus der Freien Bewegung der Seismometermasse, für α < 1 eine gedämpfte Schwingung um die Ruhelage, berechnet :

Aus dem Ausgangssignal von "Weg-" oder Geschwindigkeitsabgriff

kann die Dämpfung
aus der Abnahme der Extremalamplituden,
die Eigenfrequenz
aus dem Abstand von Nulldurchgängen
bestimmt werden,
wobei beide Beobachtungsgrößen bei einer Phasendifferenz von ganzzahligen Vielfachen von π ( = 180 [Deg] ) im Argument der trigonometrischen Funktionen auftreten :

( s. DISPLAY U_SIG / TIME des Applets Seismometer Eichung )

Leider ist diese Auswertung der freien Bewegung beschränkt auf Dämpfungen α < ca. 0.7, wo ein messbares Überschwingen der Signalspur auftritt.

Die Bestimmung der Eigenfrequenz sollte möglichst über die oben beschriebene Beobachtung der Phasendifferenz arg{B(s)} durchgeführt werden, da die Ergebnisse genauer ( und weitgehend unabhängig von der Dämpfung ) sind.

Dämpfungswerte α deutlich > 1 können in einem ähnlichen Versuch aus dem Amplitudengang |B(s)| der Übertragungsfunktion B(s) ( aus den Eckfrequenzen und der Eigenfrequenz ) ermittelt werden.

"Kritischer Dämpfungswiderstand"
( engl. Critical Damping Resistance CDR )

Die Kraft p(t) zwischen Spule und Magnet ( zw. Masse und Gehäuse ) ist proportional zum Strom i(t) durch die Spule mit der Motorkonstante G [N/A] ( = Generatorkonstante G [Vs/m] ) des Spule-Magnet-Systems.

Im seimisch relevanten Frequenzbereich sind kapazitive und induktive Beiträge zum Gesamtwiderstand im Spulenkreis i.A. vernachlässigbar,
d.h. es müssen nur der ohmshe Innenwiderstand ( engl. coil resistance ) und der ohmsche Lastwiderstand ( engl. ext. load resistance ) des Kreises brücksichtigt werden :

Die Kraft p(t) ist proportional zur Geschwindigkeit x'(t), der Bewegung entgegengerichtet ( neg. Vorzeichen ), und liefert deshalb einen Beitrag zur Dämpfung des Systems
(( s. Mechanisches System und Bewegungsgleichung ) :

Durch die Wahl des extenen Lastwiderstandes kann die Dämpfung des Gesamtsystems in einem weiten Wertebereich justiert werden,
nach unten begrenzt durch die mechanische Grunddämpfung ( engl. o.c. damping ),
nach oben durch G^2; und den Spulenwiderstand.

Trägt man gemessene Dämpfungswerte α gegen die zughörigen Leitwerte 1 / Gesamtwiderstand auf,
so sollten alle Werte auf einer Geraden liegen :

Steigung = "CDR" und
Ordinatenabschnitt = mechan.Grunddämpfung

( Die Bezeichnung "CDR" ist etwas ungenau, da für einen Gesamtwiderstand dieser Größe der elektromagnetische Anteil der Dämpfung alleine den Wert 1 ( = kritisch ) annimmt, während die Gesamtdämpfung um den die Grunddämfung höher ist. )

Empfindlichkeit

Bei dafür eingerichteten Seismometern kann eine kleine Zusatzmasse dm ( üblicherweise ≤ 1 [g] ) auf die Seismometermasse aufgelegt und wieder abgehoben werden ( engl. "weight lift test" ), um so eine bekannte externe Kraft an der Masse anzubringen
( s. Mechanisches Sytem und Bewegungsgleichung ) :

Wartet man nach dem Auflegen der Zusatzmasse bis sich das System in Ruhe befindet, so gelten die Anfangsbedingungen x'(+0) = 0 und x(+0) ≠ 0
(s. Dämpfung ) :

( s. auch DISPLAY DAMP. / 1/R des Applets Seismometer Eichung )

Weniger aufwändig ( i.A. aber auch weniger genau ) ist es, die Motorkonstante G aus dem "krit. Dämpfungswiderstand" zu berechnen :

Schließlich kann die Motorkonstante einer Eichspule bestimmt werden durch einen Vergleich der Amplituden der Ausgangssignale von "weight lift" und Gleichstromtest bei identischen Werten für die Dämpfung.

! Leider kann bei allen beschriebenen Methoden zur Bestimmung der Empfindlichkeit eines Seismometers dessen bewegliche Masse m aus den entsprechenden nicht eliminiert werden, und ihr Wert muß den Herstellerangaben entnommen ( und geglaubt ) werden !
( Selbst wenn der dort angegebene Wert evtl. nicht sehr genau ist, so ist er aber zumindest zeitlich konstant, und erlaubt eine Überprüfung der Parameter von Zeit zu Zeit. )

Inhaltsverzeichnis    Parameterbestimmung    Eigenfrequenz    Dämpfung    "Kritischer Dämpfungswiderstand"    Empfindlichkeit


Tafeln zur Laplace Transformation
sind zufinden u.a. in :

Abramowitz, M. and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, Inc, New york,
Doetsch, G., Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace Transformation und der Z-Transformation, R. Oldenbourg Verlag, München.


Die abgebildeten Formeln und Gleichungen wurden für die ursprüngliche, englische Version des Textes mit WebEQ ( damals, 1997, noch kostenlos ) erstellt, und zur Beschleunigung des Seitenaufbaus als GIFs abgespeichrt.
( Nicht nur der Kosten sondern auch meiner Faulheit wegen, wurden die Formeln für die deutsche Fassung weiter verwandt, was zu einigen "englischen Spuren" insbesondere in den Erläuterungen geführt hat, wie ich hoffe ohne Beeinträchtigung der Verständlichkeit. )


Weitere Applets zur Geophysik ( und zum Spielen ) auf der Homepage des Authors.


Rev. 09-Aug-2006

Kommentare bitte an Fritz Keller
( ned gschempfd isch globd gnueg )

Inhaltsverzeichnis    Funktionsprinzip    Applets    Laplace Transformation    Übertragungsfunktionen    Freie Bewegung    Tafeln zur Laplace Transformation

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