Ebene Wellen HowTo

Institut für Geophysik der TU Clausthal

Angewandte Geophysik : Seismik

Ebene Wellen in geschichteten Medien

Applet ( in sepatatem Fenster, ca. 535 x 340 Pixel )

Das Applet simuliert die Transmission und Reflexion ebener Wellen durch ein planparallel geschichtetes Medium.

Hierzu wird zunächst

im Zeitbereich die Folge der Transmissions- und Reflexionskoeffizienten aller Schichtgrenzen berechnet,

wobei Schichten mit konstanten Geschwindigkeits- und/oder Dichtegradienten in dünne "Lamellen" gleicher Laufzeit δT ≤ Δt/2

( Δt = Stützwertabstand DEL-T = 1 / F-SMP ) zerlegt werden,

anschließend wird

im Frequenzbereich für jede Quell-Empfänger-Kombination

die "Übertragungsfunktion" des Modells rekursiv berechnet

und

mit dem Spektrum des Quellsignals multipliziert.

Die Rücktransformation dieser Produkte in den Zeitbereich liefert die an den Empfängern registrierten seismischen Spuren.

- Inhalt -

Erläuterungen :

Modell + Messkonfiguration
Gradientenschichten
"Übertragungsfunktion"

HOWTO :

Dialogfenster :
Messkonfiguration ( SHT / GEO CONFIG )
Modellparameter ( U.H.S / LAY_1 PARAM )
Zeitskala + Fouriertransformation ( TIME SCALE + LEN FFT )
Quellsignal ( SOURCE SIGNAL )
Graphische Darstellung :
Modell ( DISP MODEL )
Seismische Spuren ( DISP TRACES )

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- Erläuterungen -

Modell + Messkonfiguration :

Das Modell besteht aus

1 ... 30 planparallelen Schichten¹) ( LAY_1 ... LAY_30 ) `

zwischen

einem homogenen oberen Halbraum ( UHS, Z < 0 )

und

einem homogenen unteren Halbraum ( LHS ).

Beide Halbräume sind unendlich ausgedehnt und homogen, d.h.

Reflexionen können nur

an der Oberfläche des Modells ( TOP, Z = 0 ),

an der Untergrenze des Modells ( BOT, = Grenze zum unteren Halbraum )

und

an Grenzen des dazwischen liegenden Schichtpaketes auftreten.

¹) Die Zahl der Reflexionskoeffizienten ( Schicht- und "Lamellen"-Grenzen ) ist auf 4096 begrenzt.

Das Applet simuliert drei unterschiedliche Messkonfigutationen :

1 Schusspunkt und 2 Geophonpositionen ( 1 SHT + 2 GEO ),

wobei der Schusspunkt

im oberen Halbraum ( UHS ),

in der Modelloberfläche ( TOP ),

in der Modelluntergrenze ( BOT )

oder

im unteren Halbraum ( LHS )

liegen kann,

und die Registrierung

an der Oberfläche ( TOP )

und / oder

an der Untergrenze ( BOT )

des Modells erfolgt.

( Bei SHT = UHS / LHS liegt der Schusspunkt innerhalb des jeweiligen Halbraums,

jedoch so "dicht" an dessen Grenze, dass lediglich

die Signalamplitude den Transmissionsverlust der Schichtgrenze widerspiegelt,

ohne Laufzeitverzögerung gegenüber SHT = TOP bzw. BOT. )

In den beiden anderen Konfigurationen wird jeweils eine VSP-Messung

( Vertical Seismic Profiling ) simuliert :

Bei 1 Schusspunkt und 6 Geophonpositionen ( 1 SHT + 6 GEO )

werden zusätzlich die Registrieungen an bis zu vier Bohrlochaufnehmern ( GEO = G_1 ... G_4 ) berechnet,

bei 6 Schusspunkten und 1 Geophonposition ( 6 SHT + 1 GEO )

die Registrierungen an der Oberfläche ( TOP ) oder an der Untergrenze ( BOT ) des Modells

von zusätzlich bis zu vier Schusspunkten in einem Bohrloch ( SHT = S_1 ... S_4 ).

Der gleichabständige Geophon- bzw. Schussarray kann zwischen Oberfläche und Untergrenze des Modells beliebig positioniert werden, die Länge des Arrays ( ≤ Z(BOT) - Z(TOP) ) ist justierbar.

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Gradientenschichten :

Im Schichtpaket zwischen oberem und unterem Halbraum können neben homogenen Schichten ( Geschwindikeit V und Dichte ρ konstant ) auch Schichten mit konstanten Gradienten der Geschwindigkeit ( grad_V ) und/oder Dichte ( grad_ρ ) simuliert werden.

Bei vorgegebenem zeitlichen Stützwertabstand Δt für das Quellsignal, die Fouriertransformation ( FFT ) und die seismischen Spuren wird eine Gradientenschicht durch eine Abfolge von "dünnen", homogenen "Lamellen" gleicher Laufzeit δT ≤ Δt/2 ersetzt, wobei die konstante Geschwindigkeit und Dichte einer "Lamelle" aus den lokalen ( tiefenabhängigen ) Werten dieser Schichtparameter bestimmt werden.

Die Laufzeit durch eine Schicht vorgebener Mächtigkeit, Anfangs- und Endgeschwindigkeit wird durch die Integration von

V(z) = V(Z_0) + grad_V × ( z - Z_0 )

=> T(z) = log{1 + grad_V × ( z - Z_0 ) / V(Z_0) } / grad_V

bestimmt, und so in N Schritte δT ≤ Δt/2 geteilt,
dass Schichtlaufzeit ( = N × δT ) und Schicntmächtigkeit ( = Summe der "Lamellen"-Dicken δZ(i), i = 0 ... N-1 ) unverändert bleiben.

Hieraus ergeben sich Dicke δZ und Geschwindigkeit V einer "Lamelle" zu

δZ(i) = exp(i × δT×grad_V) × { exp(δT×grad_V) - 1 } × V(Z_0) / grad_V und V(i) = δZ(i) / δT

sowie eine Dichte ρ, die der "Lamelle"-Mitte entspricht,

ρ(i) = ρ( (Z(i)+Z(i+1)) / 2 ) mit ρ(z) = ρ(Z_0) + grad_ρ × ( z - Z_0 ) bzw. ρ(i) = ρ(Z_0) = const. für grad_ρ = 0

Für eine Schicht konstanter Geschwindigkeit V_0 mit grad_ρ ≠ 0 ergeben sich "Lamellen" konstanter Geschwindigkeit und Dicke

V(i) = V_0 = const und δZ(i) = V_0 × δT = const

sowie einer Dichte, die der "Lamelle"-Mitte entspricht ( s. .o. ).

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"Übertragungsfunktion" :

In einem ideal-elastischen, isotropen und homogenen Medium gilt die elastische Wellengleichung, für die Verschiebung w, für die eine sich in Z-Richtung ausbreitende ebene harmonische Kompressionswelle eine spezielle Lösung darstellt :

w(z,t) = D × exp{ jω × ( t - z / V ) } + U × exp{ jω × ( t + z / V ) }

mit der Kreisfrequenz: jω = j × 2 × π × f, ( f = Frequenz, j^2 = -1 )
und den Amplituden: D einer abwärts ( Down = pos. Z-Richtung ),; U einer aufwärts ( Up = neg. Z-Richtung )
laufenden Welle.

Die frequenzabhängigen Amplituden D und U können aus den Grenzflächenbedingungen abgeleitet werden.

So müssen z.B. an der Grenzfläche z = Z_0 zwischen den Medien 1 und 2 zwei Bedingungen für alle Zeiten t erfüllt sein :

die Stetigkeit der Verschiebung w(z,t)

w_1(Z_0,t) = w_2(Z_0,t) ( die Grenzfäche ist "verschweißt" )

und die Stetigkeit der Normalspannung σ(z,t)

σ_1(Z_0,t) = σ_2(Z_0,t) ( keine "Quellen" in der Grenzfläche ),

woraus sich mit der Abkürzung

I_1,2 = ρ_1,2 × V_1,2 ( I = akustische Impedanz = ρ×V )

der Reflexionskoeffizient

R = ( I_1 - I_2 ) / ( I_1 + I_2 ) |R| ≤ 1

und der Transmissionskoefizient

T = 2 × I_1 / ( I_1 + I_2 ) = 1 + R

der Grenzfäche ergeben.

Die Anwendung der Grenzflächenbedingungen auf die Untergrenze Z(k) der Schicht ( oder "Lamelle" ) k mit

der Mächtigkeit H(k) = Z(k) - Z(k-1),

der konstanten Geschwindigkeit V(k),

der konstanten Dichte ρ(k), d.h.

der akustischen Impedanz I(k) = ρ(k)×V(k)

verknüpft

die Amplituden D(k+1) und U(k+1) der Schicht k+1, akustische Impedanz I(k+1), unterhalb der Grenzfläche Z(k)

mit

den Amplituden D(k) und U(k) der Schicht k oberhalb der Grenzfläche.

Dieise Verknüpfung wird beschrieben durch eine 2×2-Matrix, die sog. Schichtmatrix m(k) :

Die fortgesetzte Anwendung der Operation für k = 0 ... K-2,: d.h. für alle K-1 Grenzflächen zwischen den K Schichten / "Lamellen" ( 0 ... K-1 )
liefert die Verknüpfung: des unteren Halbraums ( D(K-1), U(K-1) )
mit: dem oberen Hablraum ( D(0), U(0) ) :

über die 2×2-Matrix M ( = "Übertragungsfunktion" ), die dem Produkt der Schichtmatrizen entspricht :

M = m(0) × m(1) × ... × m(K-2)

Beispiel :

Für eine aus dem oberen Halbraum einfallene Welle der Amplitude 1 gilt: D(0) = 1
und: U(0) = Rpp; ( Gesamtheit der nach oben laufenden Wellen inkl. aller Multiplen )
und für den unteren Halbraum: D(K-1) = Tpp; ( Gesamtheit der das Modell nach unten verlassenden Wellen inkl. aller Multiplen )
und: U(K-1) = 0; ( keine einfallenden Wellen aus dem unteren Halbraum ) :

Die Auflösung liefert

und

mit

Det(M) = I(0) / I(K-1)

( = det(m(0))×det(m(1))× ... ×det(m(K-2)), mit det(m(k)) = I(k) / I(k+1) )

und

einem gemeinsamen Faktor 1 / M_22, der die Multiplen beschreibt.

Berechnet man Reflektivität Rpp(jω) und Transmisivität Tpp(jω) des Modells

für die Frequenzwerte n×D_FRQ = n / (L-FFT×Δt), n = 0 ... L-FFT/2,

spiegelt den Realteil gerade, den Imaginärteil ungerade an der Nyquistfrequenz 1/(2×Δt),

so liefert die Rücktransformation in den Zeitbereich die reellen Impulsseismogramme

an der Modelloberfläche ( TOP ) und

an der Modelluntergrenze ( BOT )

für eine Quelle im oberen Halbraum ( UHS ).

Das Impulsseismogramm kann im Zeitbereich mit einem Quellsignal gefaltet werden oder, wie in der Simulation, vor der Rücktransformation im Frequenzbereich mit dem ( komplexen ) Spektrum des Signals multipliziert werden.

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- HOWTO -

Dialogfenster :
( Screenshot )

Im Dialogfenster des Applets können: die Messkonfiguration ( SHT / GEO CONFIG ),; die Parameter des oberen Halbraums und der 1. Schicht ( U.H.S / LAY_1 PARAM ),; die Zeitskala und Transformationslänge der Simulationsrechnung ( TIME SCALE + LEN FFT ),; sowie Typ und Parameter des Quellsignals ( SOURCE SIGNAL )
festgelegt werden.
In dem orange hinterlegten Dialog am unteren Rand des Fensters wird: die graphische Ausgabe des Modells ( DISP MODEL ) und der seismischen Spuren ( DISP TRACES )
sowie: die Auflistung der Modellparameter ( LIST MOD ) auf dem Bildschirm / auf der JAVA-Console
gesteuert.
Am oberen Rand des Dialogfensters wird: mit INFO; die Anzeige von Informationen zur aktuellen Cursorposition,; mit HELP; die Anzeige von Hinweisen zu den möglichen Mausinteraktionen
in den Graphikfenstern eingeblendet, und: mit RESET MOD; das Modell zurückgesetzt auf die Startkonfiguration ( 1 Schicht zwischen UHS und LHS ).

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Messkonfigurationen :
( 3 Screenshots )

Die Screenshots zeigen die drei implementierten Messkonfigurationen

1 SHT + 2 GEO :
ein Schusspunkt
im oberen Halbraum ( UHS ),
an der Modelloberfläche ( TOP ),
an der Modelluntergrenze ( BOT )
oder
im unteren Halbraum ( LHS )
und max. 2 Geophonen
an der Modelloberfäche
und/oder
an der Modelluntergrenze.

1 SHT + 6 GEO :
wie oben
+ zusätzlich ein gleichabständiger Array von 4 Bohlochgeophonen ( G_1 ... G_4 ).

6 SHT + 1 GEO :
max. 6 Schusspunkte
im oberen Halbraum oder an der Oberfläche des Modells,
und / oder
an der Untergrenze des Modells oder im unteren Halbraum,
+ zusätzlich ein gleichabständiger Array von vier Schusspunkten im Bohrloch ( S_1 ... S_4 )
und 1 Geophon
an der Oberfäche des Modells oder an der Untergrenze.

Position und Ausdehnung des Schuss- / Geophon-Arrays werden im Fenster DISP MODEL mit der Maus justiert.

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Modellparameter :
( 3 Screenshots )

Für die elastischen Parameter des oberen Halbraums und der 1. Schicht können jeweils zwei "typische" Wertepaare vorgewählt werden.

U.H.S :	FREE SURF	=> V =	333 [m/s]	ρ =	0.0013 [g/cm^3]
	WATER	=> V =	1500 [m/s]	ρ =	1.0 [g/cm^3]


LAY_1 :	WATER	=> V =	1500 [m/s]	ρ =	1.0 [g/cm^3]
	SEDIMENT	=> V =	2000 [m/s]	ρ =	2.0 [g/cm^3]

Bei beiden Schichten kann USER SEL angewählt werden, um die Schichtparameter wie bei allen anderen Schichten des Modells im Fenster DISP MODEL mit der Maus zujustieren.

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Zeitskala + FFT-Länge :
( Screenshot )

Zur Anpassung der Zeitskala der Berechnung der Reflektivität, des Quellsignal und der seismischen Spuren an die Modelldimensionen kann: der Stützwertabstand Δt zwischen 0.125 [ms] und 50 [ms], bzw.; die Abtastfrequenz zwischen 8 [kHz] und 20 [Hz]
variiert werden.
Zur Anpassung der Simulationsrechnung: an die Gesamtzahl der Schichten ( inkl. "Lamellen" in Gradientenschichten ),; an die Länge des Quellsignals ( z.B. SWEEP ) und; an das i.A. sehr geringe Abklingen der Amplituden von Multiplen; ( keine Materialdämpfung, keine geometrische Divergenz )
kann der Parameter L-FFT ( = 2^n, => Spurlänge ) zwischen 256 [Smp] und 32768 [Smp] variiert werden.

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Quellsignal :
( Screenshot )

Im Dialogfeld SOURCE SIGNAL kann der Typ des Quellsignals ausgewählt werden :: ein Spike ( δ-Impuls )
oder: eine von 9 Zeitfunktionen,; deren charakteristische Frequenz F_SIG ( EXP*SIN, RICKER ); bzw. charakteristische Frequenzen FRQ_1 und FRQ_2 ( KUEPPERS, SWEEP )
durch den Stützwertabstand Δt bestimmt sind.
Diese Frequenzen können justiert werden,: grob mit F_SCAL x 5 ... x 0.2 und; fein mit F_TUNE INC / DEC